10. Η εξίσωση \(x^ν=α\)

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

9 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

12 Ιούλιος 2026

1 Η εξίσωση \(x^ν=α\)

Θεωρία και Ορισμοί

Η εξίσωση της μορφής \(x^\nu = \alpha\) (όπου \(\nu\) θετικός ακέραιος) ονομάζεται και διώνυμη εξίσωση. Η μελέτη της συνδέεται άμεσα με την έννοια της \(\nu\)-οστής ρίζας ενός μη αρνητικού αριθμού \(\alpha\), η οποία ορίζεται ως ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στη δύναμη \(\nu\), δίνει τον αριθμό \(\alpha\). H \(\nu\)-οστή ρίζα συμβολίζεται ως \(\sqrt[\nu]{\alpha}\) και αποτελεί τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης \(x^\nu = \alpha\) για \(\alpha \geq 0\).

Στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι περιττός και ο \(\alpha\) είναι αρνητικός, παρόλο που υπάρχει ρίζα, αυτή γράφεται πάντα με το πρόσημο μείον έξω από το ριζικό, δηλαδή \(x = -\sqrt[\nu]{|\alpha|}\), καθώς το σύμβολο \(\sqrt[\nu]{\alpha}\) παριστάνει παραδοσιακά μόνο μη αρνητικούς αριθμούς.

Επίλυση και Διερεύνηση

Η επίλυση της εξίσωσης \(x^\nu = \alpha\) εξαρτάται από το αν ο εκθέτης \(\nu\) είναι άρτιος ή περιττός, καθώς και από το πρόσημο του αριθμού \(\alpha\):

  1. Αν \(\alpha = 0\):
    • Η εξίσωση έχει μοναδική λύση την \(x = 0\) για κάθε τιμή του \(\nu\).
  2. Αν \(\alpha > 0\):
    • Αν ο \(\nu\) είναι άρτιος, η εξίσωση έχει δύο αντίθετες λύσεις: \(x = \sqrt[\nu]{\alpha}\) και \(x = -\sqrt[\nu]{\alpha}\) (συνοπτικά \(x = \pm\sqrt[\nu]{\alpha}\)).
    • Αν ο \(\nu\) είναι περιττός, η εξίσωση έχει μοναδική θετική λύση: \(x = \sqrt[\nu]{\alpha}\).
  3. Αν \(\alpha < 0\):
    • Αν ο \(\nu\) είναι άρτιος, η εξίσωση είναι αδύνατη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, καθώς καμία άρτια δύναμη πραγματικού αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητική.
    • Αν ο \(\nu\) είναι περιττός, η εξίσωση έχει μοναδική αρνητική λύση: \(x = -\sqrt[\nu]{|\alpha|}\).



Σημείωση

Επίσης μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

  • \(x^ν = α^ν\), με ν ℕ*, έχει προφανή λύση την x = α,

  • Αν ο ν περιττός τότε η εξίσωση \(x^ν = α^ν\) έχει μοναδική λύση, την x = α

  • Αν ο ν άρτιος τότε η εξίσωση \(x^ν = α^ν\) έχει δύο λύσεις, τις \(x_1 = α\) και \(x_2 = - α\).

1.0.1 Παραδείγματα

  • \(x^2 = 4\): Επειδή \(\alpha=4 > 0\) και \(\nu=2\) (άρτιος), η εξίσωση έχει λύσεις \(x = \pm\sqrt{4} = \pm 2\).
  • \(x^3 = 8\): Επειδή \(\alpha=8 > 0\) και \(\nu=3\) (περιττός), η εξίσωση έχει μοναδική λύση \(x = \sqrt{8} = 2\).
  • \(x^3 = -125\): Επειδή \(\alpha=-125 < 0\) και \(\nu=3\) (περιττός), η εξίσωση έχει λύση \(x = -\sqrt{|-125|} = -5\).
  • \(x^4 = -34\): Επειδή \(\alpha=-34 < 0\) και \(\nu=4\) (άρτιος), η εξίσωση είναι αδύνατη.
  • \(x^{20} = 0\): Έχει μοναδική λύση την \(x = 0\).

1.1 Ασκήσεις

  1. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^3 - 125 = 0\).

  2. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^5 + 243 = 0\).

  3. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^4 - 16 = 0\).

  4. Να λυθεί η εξίσωση: \(x^8 + 1 = 0\).

  5. Να βρεθεί η λύση της εξίσωσης: \(x^7 - 128 = 0\).

  6. Να λύσετε τις εξισώσεις:

  • α. \(x^3 - 27 = 0\)
  • β. \(x^5 - 32 = 0\)
  • γ. \(x^3 - 1.000 = 0\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(x^3 + 8 = 0\)
  • β. \(x^5 + 1 = 0\)
  • γ. \(x^3 + 64 = 0\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(x^2 - 100 = 0\)
  • β. \(x^4 - 16 = 0\)
  • γ. \(x^6 - 1 = 0\)
  1. Να λύσετε τις εξισώσεις:
  • α. \(x^4 - 27x = 0\)
  • β. \(x^5 + x^2 = 0\)
  • γ. \(x^6 + 64x^2 = 0\)
  1. Ένας ορθός κύλινδρος έχει όγκο \(81\pi,\text{m}^3\). Αν το ύψος του είναι τριπλάσιο της ακτίνας της βάσης του, να βρείτε την ακτίνα και το ύψος του.

Λύση

\[V=\pi r^2h,\qquad h=3r\]

\[81\pi=\pi r^2(3r)\]

\[3r^3=81\]

\[r^3=27\]

\[r=3\text{ m},\qquad h=9\text{ m}\]

  1. Ένα ορθό πρίσμα με τετράγωνη βάση έχει όγκο \(81,\text{m}^3\). Αν το ύψος του είναι τριπλάσιο της πλευράς της βάσης, να βρείτε τις διαστάσεις του.

  2. Ένας ορθός κώνος έχει όγκο (\(36\pi,\text{m}^3\)). Αν το ύψος του είναι τετραπλάσιο της ακτίνας της βάσης, να βρείτε τις διαστάσεις του.

  3. Μια σφαίρα έχει όγκο \(36\pi,\text{m}^3\). Να βρείτε την ακτίνα της.

  4. Να λύσετε τις εξισώσεις:

  • α. \((x - 2)^3 = 125\)
  • β. \(8 + 27x^3 = 0\)
  • γ. \((x + 2)^4 - 8(x + 2) = 0\)

Μικρά tips για τη λύση:

  • Όταν ο εκθέτης είναι περιττός (3, 5, 7…), η εξίσωση \(x^ν = \alpha\) έχει πάντα μία μόνο λύση, την \(\sqrt[ν]{\alpha}\).
  • Όταν ο εκθέτης είναι άρτιος (2, 4, 6…) και ο αριθμός είναι θετικός, έχουμε δύο λύσεις (τη θετική και την αρνητική ρίζα).
  • Αν ο εκθέτης είναι άρτιος και ο αριθμός είναι αρνητικός (π.χ. \(x^2 = -4\)), η εξίσωση είναι αδύνατη στους πραγματικούς αριθμούς.
Συμβουλή

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ!